統計学

  ベイズの定理の例題

  様々な地域から渡り鳥が集う湖に、黄色い模様を持つ珍しい雛鳥が発見された。 そこで、この雛鳥の親がどの地域から飛来したのかを調査することになった。


ベイズの定理の例の図00


  この湖には、日本と中国とロシアから渡り鳥がやってくる。 日本から渡ってくる鳥は、全体の 80 % と最も多く、 中国からは、18 %、ロシアからは 2 % であるという。
  一方で、日本から渡ってきた親鳥が黄色い模様を持つ雛鳥を産む確率は低く、0.01 %であるという。 中国から渡ってきた親鳥が産む確率は 0.2%、ロシアから渡ってきた親鳥が産む確率は 2% であるという。
  このとき、 黄色い模様の渡り鳥の親鳥がどの地域から飛来したのかをベイズの定理に基づいて推定せよ。
最終更新 2015 年 8 月 16 日


  解答例

  渡り鳥の地域を A とすると、 日本から渡ってくる確率は 80 % であるので、

$$ \mathrm{Pr} (A = 日本) = 0.8 $$
である。 中国とロシアから渡ってくる確率はそれぞれ 18%、2%であるので、

\begin{eqnarray} \mathrm{Pr} (A = 中国) &=& 0.18 \\ \mathrm{Pr} (A = ロシア) &=& 0.02 \end{eqnarray} である。
  雛鳥の模様の色を $B$ とすると、 日本から渡ってきた鳥が黄色い模様の雛鳥を産む確率が 0.01% であるので、

$$ \mathrm{Pr} (B = 黄色 | A = 日本) = 0.0001 $$
である。 中国とロシアから来た鳥が黄色い模様の雛鳥を産む確率がそれぞれ 0.2%、2% であるので、 \begin{eqnarray} \mathrm{Pr} (B = 黄色 | A = 中国) &=& 0.002 \\ \mathrm{Pr} (B = 黄色 | A = ロシア) &=& 0.02 \end{eqnarray} である。
  これらからベイズの定理によって、 黄色い模様の雛鳥が発見された場合に、 その親鳥が日本から渡ってきた確率 $\mathrm{Pr}(A = 日本| B = 黄色)$ は、

\begin{eqnarray} &&\mathrm{Pr}(A = 日本| B = 黄色) \\ &&=\frac{\mathrm{Pr}(A = 日本) \mathrm{Pr}(B=黄色 | A = 日本)} {\mathrm{Pr}(A=日本)\mathrm{Pr}(B=b|A=日本) + \mathrm{Pr}(A=中国)\mathrm{Pr}(B=b|A=中国) + \mathrm{Pr}(A=ロシア)\mathrm{Pr}(B=b|A=ロシア)} \\ && \\ \hspace{1mm}\\ && =\frac{(0.8 × 0.0001)}{(0.8 × 0.0001) + (0.18 × 0.002) + (0.02 × 0.02)} \simeq 0.0952 \end{eqnarray}

である。
  黄色い模様の雛鳥が発見された場合に、 その親鳥が中国から渡ってきた確率 $\mathrm{Pr}(A = 中国| B = 黄色) $ は、

\begin{eqnarray} &&\mathrm{Pr}(A = 中国| B = 黄色) \\ &&=\frac{\mathrm{Pr}(A = 中国) \mathrm{Pr}(B=黄色 | A = 日本)} {\mathrm{Pr}(A=日本)\mathrm{Pr}(B=b|A=日本) + \mathrm{Pr}(A=中国)\mathrm{Pr}(B=b|A=中国) + \mathrm{Pr}(A=ロシア)\mathrm{Pr}(B=b|A=ロシア)} \\ && \\ \hspace{1mm}\\ && =\frac{(0.18 × 0.002))}{(0.8 × 0.0001) + (0.18 × 0.002) + (0.02 × 0.02)} \simeq 0.4286 \end{eqnarray}
である。
  黄色い模様の雛鳥が発見された場合に、 その親鳥がロシアから渡ってきた確率 $\mathrm{Pr}(A = ロシア| B = 黄色) $ は、

\begin{eqnarray} &&\mathrm{Pr}(A = ロシア| B = 黄色) \\ &&=\frac{\mathrm{Pr}(A = ロシア) \mathrm{Pr}(B=黄色 | A = 日本)} {\mathrm{Pr}(A=日本)\mathrm{Pr}(B=b|A=日本) + \mathrm{Pr}(A=中国)\mathrm{Pr}(B=b|A=中国) + \mathrm{Pr}(A=ロシア)\mathrm{Pr}(B=b|A=ロシア)} \\ && \\ \hspace{1mm}\\ && =\frac{(0.02 × 0.02)}{(0.8 × 0.0001) + (0.18 × 0.002) + (0.02 × 0.02)} \simeq 0.4761 \end{eqnarray}
である。
  ゆえにそれぞれは、9.52 %、42.86 %、47.61 % であると見積もられた。








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