回転の回転

  $\mathbf{A}$ を 3 次元ベクトルとするとき、回転の回転は次の恒等式を満たす。

回転の回転00

なお、$\nabla$ とベクトルとの外積を回転 (rotation) と呼ぶ。
最終更新 2015年 8月25日


  証明

  3次元空間のデカルト座標系の各軸を $x_{1},x_{2},x_{3}$ とし、ベクトル微分 $\nabla$ を

回転の回転01

と表す。また各成分を

回転の回転02

と対応づける。加えて $\nabla \times \mathbf{A}$ の第 $i$ 成分を $ \nabla \times \mathbf{A} |_{i} $ と表すことにする。
  このとき $\nabla \times \mathbf{A}$ の各成分は、レビチビタの記号を使って

回転の回転03

と表すことができる。
  これより

回転の回転04

と表せる。
  ここで、レビチビタの記号の巡回性により $ \epsilon_{ijk} = \epsilon_{kij} $ であることから、

回転の回転05

と表せる。
  また Levi-Civita の記号が満たす恒等式

回転の回転06

により

回転の回転07

と表せる。
  クロネッカーのデルタの定義

回転の回転08

に注意しながら、各項を書き換えると、第一項は

回転の回転09

である。最後の等式で微分を入れ替えた。第二項は、

回転の回転10

である。これらより、

回転の回転11

と表せる。
  上の式において、 内積の記号を使って $\sum_{j=1}^{3} \partial_{j} A_{j} = (\nabla, \mathbf{A})$、 $\sum_{j=1}^{3} \partial_{j} \partial_{j} = (\nabla, \nabla) $ と表すことにより、

回転の回転12

と表せる。
  各成分に対して上の式が満たされるので、

回転の回転13

が示された。







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