勾配の回転

  三次元空間上の微分可能なスカラー関数 $\phi$ の勾配 (gradient) の回転 (rotation) は、 空間上の至るところで 0 である。 すなわち、 $\nabla$ をベクトル微分とするとき

勾配の回転00

が成立する。
最終更新 2015年 8月25日


  証明

  三次元空間のデカルト座標系の各軸を $x_{1},x_{2},x_{3}$ とし、ベクトル微分 $\nabla$ を

勾配の回転01

と表す。また各成分を

勾配の回転02

を表す。加えて $\nabla \times \nabla \phi$ の第 $i$ 成分を $ \nabla \times \nabla \phi |_{i} $ と表すことにする。
  このとき $\nabla \times \nabla \phi$ の各成分は、レビチビタの記号を使って

勾配の回転03

と表すことができる。
  ここで、 $\partial_{j} \partial_{k} \phi$ と $\partial_{k} \partial_{j} \phi$ が連続ならば微分の入れ替えが可能であるので、 $\phi$ がそれを満たすならば、

勾配の回転04

が成立する。
  ここでレビチビタの記号が添え字の入れ替えに対して符号を変えることから、

勾配の回転05

が成立するので、

勾配の回転06

と表せる。
  上の式の右辺は外積の記号を使って

勾配の回転07

と表せることから

勾配の回転08

を得る。この式は

勾配の回転09

と同値である。
  上の式が各成分について成立することから、

勾配の回転10

を得る。






ページのトップへ戻る