任意の行列の簡約化可能

  任意の行列は、行基本変形によって、簡約化行列に変換できる。 すなわち、 次の 4 つのルールを満たす行列へと変換できる。

$(1)$   主成分が 1 である。
$(2)$   主成分を持つ列ベクトルは、主成分を除く全ての成分が 0 である。
$(3)$   主成分は、右側に行くほど下側にある。
$(4)$   ゼロベクトルの行ベクトルは、ゼロでない行ベクトルよりも下側にある。


任意の行列の簡約化可能の証明はこちら


  簡約化された行列は一段ずつの階段状

  簡約化された行列は、1 行から順に右に向かって一段ずつ主成分が下がってゆく階段状の行列である。 また、主成分を持つ列ベクトルは基本ベクトルである。


簡約化された行列は一段ずつの階段状の説明はこちら


  簡約化された行列は唯一つ

  行列を簡約化すると、必ず同じ行列になる。 すなわち、簡約化行列は唯一つである。

簡約化された行列はユニークの証明はこちら


  行列のランクが主成分の数に等しいこと

  行列 $A$ を簡約化した行列を $A^{e}$ とするとき、 $A$ のランクは、$A^{e}$ の主成分の数に等しい。 すなわち、

ランクと主成分の数は等しい00

が成立する。

行列のランクが主成分の数に等しいことの証明はこちら


  列が線形独立な行列の簡約化

  $m \times d$ の行列を $A$ とする。ただし、$m \geq d$ である。 このとき、 $A$ の列ベクトルが互いに線形独立であるならば、 $A$ を簡約化した行列 $A^{e}$ は、 次の形の行列になる。

列が線形独立な行列の簡約化01


行列が線形独立な行列の簡約化の解説はこちら










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