ケットブラ作用素

  ヒルベルト空間の任意のベクトルを $| \xi \rangle$, $| \eta \rangle$, $ | \phi \rangle$ とするとき、 量子力学で使われるケットブラ作用素 $| \xi \rangle\langle \eta |$ とは、 ベクトル $ | \phi \rangle$ をベクトル $\langle \eta | \phi \rangle\hspace{1mm}| \xi \rangle $ に変換する作用素である。 すなわち、

ケットブラ作用素01

である。ここで、$\langle \eta | \phi \rangle$ は、ベクトル $| \eta \rangle$ と $| \phi \rangle$ の内積を表し、 ブラケット (bra-ket) と呼ばれる。
最終更新 2015年 3月14日


  ケットブラは線形作用素

  任意のベクトル $ | \phi \rangle$ と定数 $\alpha$ に対して、

ケットブラ作用素01

を満たす。ここで $\langle \eta |\alpha \phi \rangle $ は、 ベクトル $| \eta \rangle$ と $\alpha | \phi \rangle$ の内積であるので、 内積の線形性から $\langle \eta |\alpha \phi \rangle = \alpha \langle \eta | \phi \rangle$ が成立する。


  任意のベクトル $ | \phi_{1} \rangle$ と $ | \phi_{2} \rangle$ に対して、

\begin{eqnarray} (| \xi \rangle\langle \eta |) \hspace{1mm} (| \phi_{1} \rangle + | \phi_{2} \rangle) &=& \langle \eta | \phi_{1} + \phi_{2} \rangle\hspace{1mm} | \xi \rangle \\ &=&(\langle \eta | \phi_{1} \rangle + \langle \eta | \phi_{2} \rangle)\hspace{1mm}| \xi \rangle \\ &=& \langle \eta | \phi_{1} \rangle \hspace{1mm}| \xi \rangle + \langle \eta | \phi_{2} \rangle \hspace{1mm} | \xi \rangle \\ &=& (| \xi \rangle\langle \eta |) \hspace{1mm}| \phi_{1} \rangle + (| \xi \rangle\langle \eta |) \hspace{1mm}| \phi_{2} \rangle \end{eqnarray}
を満たす。ここで $\langle \eta | \phi_{1} + \phi_{2} \rangle $ は、 ベクトル $| \eta \rangle$ と $ | \phi_{1} \rangle + | \phi_{2} \rangle$ の内積を表す。 ゆえに内積の線形性から $\langle \eta | \phi_{1} + \phi_{2} \rangle = \langle \eta | \phi_{1} \rangle + \langle \eta | \phi_{2} \rangle$ が成立する。

  以上からケットブラは線形作用素である。

  ケットブラのランクは 1

  定義より、ケットブラ $| \xi \rangle\langle \eta |$ はヒルベルト空間の任意のベクトル $| \phi \rangle$ を

$$ (| \xi \rangle\langle \eta |) \hspace{1mm} | \phi \rangle = \langle \eta | \phi \rangle \hspace{1mm} | \xi \rangle $$
と変換する。
  ゆえに、ケットブラをどのベクトルに作用しても、1 つのベクトルの (上の場合 $| \xi \rangle$ の) 定数倍になる。 これは、ケットブラによる写像が 1 次元ベクトル空間になることを表している。
  ところで、線形作用素の写像先の空間の次元とは、作用素のランクそのものである。 ゆえに、ケットブラ作用素のランクは 1 である。すなわち、

$$ \mathrm{rank} \big(| \xi \rangle\langle \eta | \big) = 1 $$






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