負の二項分布で現れる整級数の証明  

最終更新 2017年 3月17日
  次のように整級数と関数が等しいこと
負の二項分布で現れる整級数または幾何級数
を証明する。 ただし $-1 < x < 1$ とする。
  右辺の級数は、 超幾何級数の一種であり、 負の二項分布の期待値や分散を計算するときに使われる。

  証明

  はじめに
と置く。
  $n=0$ の項を分けて表すと、
である。 ここで組み合わせ記号が
であること(と定義されていること)を用いた。 これより、 $f(x)$ の微分は、
である (補足を参考) 。 組み合わせ記号の定義により、 この式を
と表すこともできる。
  $(1)$ と $(2)$ から

  ここで括弧内の部分は、
と書けることを用いると、
が成り立つことが分かる。
  この結果を次の計算に用いると、
を得る。 これより、
であるが、 $x=0$ の場合を考えると、
であるので、定数 $ C=1 $ であることが分かる。 ゆえに、
であることが分かる。 最後に $f(x)$ の定義から
を得る。
補足
  $(1)$ を求めるときに整級数 $f(x)$ を微分したが、 微分可能であるためには、 $x$ が $f(x)$ の収束半径の中の値である必要がある。 実際に $f(x)$ の収束半径を求めると $1$ であるため (以上証明略)、 $f(x)$ は
の範囲でならば微分できることが分かる。
  この性質を踏まえて $(1)$ を求めている。