一点と直線を通る平面の方程式

  一点 $\mathbf{x}_{0}$ を通り、 方向ベクトルが $\mathbf{m}$ の直線

一点と直線を通る平面00

と、 一点 $\mathbf{u}$ を通る平面の方程式は、

一点と直線を通る平面01

と表される。
最終更新 2016年 12月4日


    証明

  位置ベクトルが $\mathbf{x}_{0} $ である点 $X_{0}$ を通り、 方向ベクトルが $\mathbf{m}$ の直線

一点と直線を通る平面02

と、 位置ベクトルが $\mathbf{u}$ である点 $U$ を通る平面 $P$ の方程式を求める。
一点と直線を通る平面の図00

  直線 $(1)$ の $t$ は、 直線上の点の位置を定義するパラメータである。 そこで、 直線 $(1)$ 上にある $X_{0}$ 以外の点を $X_{1}$ とすると、 この点の位置ベクトルは、

一点と直線を通る平面03

と表される。 ここで、 $ t_{1} $ は、 点 $X_{1}$ の位置を定義するパラメータであり、 $X_{1}$ と $X_{0}$ が異なる位置の点であることから、

一点と直線を通る平面04

である。 また、

一点と直線を通る平面05

である。
  一方、 点 $U$ と点 $X_{0}$ を結ぶベクトルは、

一点と直線を通る平面06
である。

一点と直線を通る平面の図01

  ここで、 平面 $P$ 上の任意の点を $\mathbf{x}$ と表し、 $\mathbf{x}$ の満たす方程式、 すなわち、 平面 $P$ の方程式

一点と直線を通る平面07

と置く。 $\mathbf{n}$ は、 法線ベクトルであり、 $h$ は符号付き距離である。
  法線ベクトル $\mathbf{n}$ は、 平面上の二点を結ぶベクトルと直交するベクトルであるので、 $\mathbf{n}$ は、 $(3)$ と直交し、 $(4)$ とも直交する。 一般に、 3次元では、 2つのベクトルと直交するベクトルは、それらの外積の方向を向くので、 $\mathbf{n}$ は、

一点と直線を通る平面08

と表せる。 これを用いると、 平面の方程式 $(5)$ は、

一点と直線を通る平面09

と表される。
  点 $U$ が平面 $P$ 上の点であることから、 位置ベクトル $\mathbf{u}$ は、

一点と直線を通る平面10

を満たす。 これを整理すると、 $h$ は スカラー三重積の循環性により、

一点と直線を通る平面11

と表せるので、 $(6)$ から、

一点と直線を通る平面12

を得る。
  最後に $t_{1}\neq 0$ であること $(2)$ から、

一点と直線を通る平面13

となり、 一点 $U$ と直線 $(1)$ を通る平面の方程式が求まる。








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