周期関数について解説   ～具体例・性質 ～

  関数 $f(x)$ が を満たすとき、$T$ を関数 $f(x)$ の周期といい、 $f(x)$ を周期関数という。 $(1)$ 三角関数 は、 周期 $2 \pi$ の関数である。 $(2)$ 任意の整数 $n$ に対して、 関数 $f_{n}(x)$ を と定義し、 これを用いて $f(x)$ を と定義すると、 $f(x)$ は周期 $T$ の関数である。

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  関数 $f(x)$ と $g(x)$ が周期関数のとき、 $h_{+}(x) = f(x) + g(x)$ もまた周期関数である。 すなわち、 \begin{eqnarray} h_{+}(x+T) &=& f(x+T)+g(x+T) \\ &=& f(x) + g(x) \\ &=& h_{+}(x) \end{eqnarray} が成り立つ。 $h_{-}(x) = f(x) - g(x)$ もまた周期関数である (証明略)。 $k(x) = f(x) g(x)$ もまた周期関数である。 すなわち、 \begin{eqnarray} k(x+T) &=& f(x+T)g(x+T) \\ &=& f(x) g(x) \\ &=& k(x) \end{eqnarray} が成り立つ。 $g(x) \neq 0$ とする。 このとき、 $l(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ もまた周期関数である。 すなわち、 \begin{eqnarray} l(x+T) &=& \frac{f(x+T)}{g(x+T)} \\ &=& \frac{f(x)}{g(x)} \\ &=& l(x) \end{eqnarray} が成り立つ。   $f(x)$ が周期 $T$ の関数であるとき、 整数 $n$ に対して、 $$ \tag{2.1} $$ が成り立つ。すなわち、 $f(x)$ は周期 $nT$ の関数でもある。

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  $f(x)$ が周期 $T$ の関数であるとき、 関数 $f(kx)$ の周期は $\frac{T}{k}$ である。 すなわち、 が成り立つ。

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  周期 $T$ の関数$f(x)$ に対して、 $a \neq b$ かつ $0 \leq a,b \leq T$ のとき、 が成り立つ。すなわち、積分範囲の大きさが $T$ の積分は、 どこから積分しても値が変わらない。

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