部分空間の正規直交系から完全正規直交系を構成できる

  $n$ 次元ベクトル空間 $V$ に含まれる $d$ 次元部分空間を $W$ とし、$W$ の正規直交基底を

部分空間の正規直交系から完全正規直交系00

とする。 これらに対し、 $V$ の中の $n-d$ 個の互いに直交するベクトル

部分空間の正規直交系から完全正規直交系01

を追加することによって、 $V$ の正規直交基底

部分空間の正規直交系から完全正規直交系02

を構成することができる。
  言い変えると、 ベクトル空間 $V$ には、 部分空間 $W$ の任意の正規直交基底を含む正規直交基底が存在する。
最終更新 2016年 8月 13日


  証明

  $(*)$ が、部分空間 $W$ を構成する正規直交基底であるとは、 $(*)$ が正規直交性

部分空間の正規直交系から完全正規直交系03

を満たし、なおかつ、 $W$ の任意のベクトルが $(*)$ の線形結合によって表されることを意味する。
 
  $(*)$ が $W$ の基底であり、 $W$ は、$V$ の部分空間であるので、 $V$ にとって $(*)$ は、 部分空間の基底である。 一般に、 ベクトル空間には、 部分空間の基底を含む基底が存在することが知られている。 従って、 $V$ には、$(*)$ を含む基底が存在する。 すなわち、 $(*)$ に $n-d$ 個の線形独立なベクトル

部分空間の正規直交系から完全正規直交系04

を追加して $V$ の基底

部分空間の正規直交系から完全正規直交系05

を構成することができる。
  $(2)$ は $V$ の基底であるので、 互いに線形独立である。 したがって、 グラムシュミットの直交化法により、 これらから完全正規直交系を生成することができる。 ただし、$(1)$ により、$(2)$ の中の $d$ 個のベクトル

部分空間の正規直交系から完全正規直交系06

の部分は、既に正規直交化されているので、 これをもとに、残りのベクトルを次のように生成すると、完全正規直交系が生成される。
  まず初めに、 正規直交系 $(3)$ とベクトル $\mathbf{v}_{d+1}$ から、ベクトル $ \mathbf{u}'_{d+1} $ を

部分空間の正規直交系から完全正規直交系07

と定義する。 こうすると、$\mathbf{u}'_{d+1}$ は、

部分空間の正規直交系から完全正規直交系08


部分空間の正規直交系から完全正規直交系09

を満たす。ゆえに、

部分空間の正規直交系から完全正規直交系10

は、正規直交系を成す。
  次に、$(4)$ と $\mathbf{v}_{d+2}$ から、ベクトル $ \mathbf{u}'_{d+2} $ を

部分空間の正規直交系から完全正規直交系11

を定義する。 こうすると、$\mathbf{u}'_{d+2}$ は、

部分空間の正規直交系から完全正規直交系12


部分空間の正規直交系から完全正規直交系13

を満たす。ゆえに、

部分空間の正規直交系から完全正規直交系14

は、正規直交系を成す。
  このような方法を繰り返し、 $\mathbf{u}'_{d+3}$,$\mathbf{u}'_{d+4}$, $\cdots$, $\mathbf{u}'_{d+n}$ を定義すると、 $n$ 個のベクトルからなる正規直交系

部分空間の正規直交系から完全正規直交系15

を生成することが出来る。
  $n$ 次元空間に含まれる $n$ 個からなる正規直交系を正規直交基底と呼ぶので、次の結論を得る。 すなわち $d$ 次元部分空間 $W$ を構成する正規直交系

部分空間の正規直交系から完全正規直交系16

に $n-d$ 個のベクトル

部分空間の正規直交系から完全正規直交系17

を追加することによって、$V$ の完全正規直交系 $(5)$ を構成することができる。










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