正規行列の固有値の異なる固有ベクトルは直交する

  正規行列 $A$ の任意の固有値を $\lambda_{i}$ とし, 固有値 $\lambda_{i}$ を持つ任意の固有ベクトルを$\mathbf{u}_{i}$ とする。

正規行列の固有の異なるベクトルは直交00

$\lambda_{i}$ とは異なる $A$ の任意の固有値を $\lambda_{j}$ とし、固有値 $\lambda_{j}$ を持つ任意の固有ベクトルを $\mathbf{u}_{j}$ とする。

正規行列の固有の異なるベクトルは直交01

このとき、$\mathbf{u}_{i}$ と $\mathbf{u}_{j}$ は、直交する。すなわち、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交02

が成立する。ここで、$(\cdot, \hspace{1mm} \cdot )$ は、複素ベクトルの内積である(以下、参考)。
最終更新 2016年 10月 30日


  準備   複素ベクトルの内積  

  複素ベクトルの内積は、次の性質を満たすものとして定義される。

$(1)$   任意の $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ に対して、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交03

$(2)$   任意の $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$, $\mathbf{z}$ に対して、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交04

$(3)$   任意の $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$, 複素数 $\alpha$ に対して、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交05

$(4)$   任意の $\mathbf{x}$ に対して、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交06

が成立する。ここで $\|\mathbf{x} \|^2 = (\mathbf{x}, \mathbf{x})$ である。 等号が成立するのは、$\mathbf{x} = 0$ のときのみ。すなわち、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交07

$(1)$ と $(3)$ から、任意の $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$, 複素数 $\alpha$ に対して、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交08

が成立する。
  また複素ベクトルの内積は、次の性質を持つ。すなわち、 任意の行列 $A$ と、任意の複素ベクトル $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ に対して、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交09

が成立する。 ここで $A^{\dagger}$ は、行列 $A$ のエルミート共役(随伴行列)であり、$A$ の転置行列の複素共役である。
  これらの性質を用いて、証明を行う。

  証明  

  行列 $A$ が

正規行列の固有の異なるベクトルは直交10

を満たすとき、$A$ を正規行列であるという。
  正規行列 $A$ の任意の固有値を $\lambda_{i}$ とし, 固有値 $\lambda_{i}$ を持つ任意の固有ベクトルを$\mathbf{u}_{i}$ とすると、 $(*4)$ から、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交11

が成立するが、右辺の内積の左側のベクトルが、$(*) (*5)$ により、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交12

であることから、$(*6)$ の右辺は $0$ である。すなわち、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交13

が成立する。これより、内積のルール $(4)$ から、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交14

が成立する。
  $\lambda_{i}$ とは異なる $A$ の任意の固有値を $\lambda_{j}$ とし、固有値 $\lambda_{j}$ を持つ任意の固有ベクトルを $\mathbf{u}_{j}$ とすると、 $(3)$ と $(*2)$ によって、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交15

が成立する。
  一方で、上の式の左辺に対し、 $(*3) (*4) (*7)$ によって、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交16

が成立する。
  $(*8)$ と $(*9)$ により、

正規行列の固有の異なるベクトルは直交17

を得る。この式から

正規行列の固有の異なるベクトルは直交18

が成立するが、仮定より、$\lambda_{j} \neq \lambda_{i}$ であるので、 $(\lambda_{j}-\lambda_{i}) \neq 0$ である。ゆえに、$(*10)$ から

正規行列の固有の異なるベクトルは直交19

である。






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