ニュートンの補間公式と差分商を解説

  階数の小さい差分商 (divided differences) から順に定義して行く。
  $x = x_{1}, x_{2}$ に対する $1$ 階の差分商 $f(x_{1}, x_{2})$ は、 $$ \tag{1.1} $$ と定義される。 式から分かるように、 $1$ 階の差分商は、$2$ 点 の間を結ぶ直線の傾きである。
  $x = x_{1}, x_{2}, x_{3}$ に対する $2$ 階の差分商 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ は、 $1$ 階の差分商 $f(x_{1}, x_{2})$ と $1$ 階の差分商 によって、 $$ \tag{1.2} $$ と定義される。 すなわち、 $2$ 階の差分商とは、 $1$ 階の差分商の差分商である。
  同じように、 $x = x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ に対する $n-1$ 階の差分商 は、 $n-2$ 階の差分商 と によって、 $$ \tag{1.3} $$ と定義される。 すなわち、 $n-1$ 階の差分商とは、 $n-2$ 階の差分商の差分商である。   差分商を用いると、 関数 $f(x)$ を $$ \tag{2.1} $$ と表すことができる。

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    関数 $f(x)$ の $x=x_{0}, x_{1}, \cdots , x_{n}$ に対する $n$ 階の差分商は、 $$ \tag{3.1} $$ と表すことができる。 ここで、 とは、 $i = s$ の場合を除いた $ (x_{s}-x_{i})$ の積を表す。 すなわち、 である。

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  $(2.1)$ 式 の最後の項 は剰余項と呼ばれる。 剰余項には、差分商 $f(x, x_{1},\cdots,x_{n})$ が含まれる。 この部分は $f(x)$ が未知の場合には計算することが出来ない。
  一方で、 $(2.1)$ から剰余項を取り除いた関数 $$ \tag{4.1} $$ は、 $n$ 個の点 $$ \tag{4.2} $$ から、$y_{i}=f(x_{i})$ と置くことによって計算することが出来る。 すなわち、 $f_{n-1}(x)$ は点の値 $(4.2)$ さえ与えられれば、 導出することが出来る関数である。
  そこで、 関数 $f(x)$ が未知であり、 $(4.2)$ が既知の値 (例えば観測データ) である場合に、 $f(x)$ に代わって $f_{n-1}(x)$ を導出し、 未知の関数 $f(x)$ の近似関数とする、 すなわち、 とすると、 $(4.2)$ を除いた未知の点 (観測されていない点) を $f_{n-1}(x)$ を通じて与えることができる (下の例を参考)。
  このような役割を果たす関数を一般的に補間関数と呼び、 $f_{n-1}(x)$ を $n-1$ 階のニュートンの補間公式と呼ぶ (剰余項を取り除かないままの式 $(2.1)$ をその名前で呼ぶこともある)。   次の4点 $$ \tag{5.1} $$ を通る多項式をニュートンの差分商補間公式に従って導出する問題を解説する。

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  関数 $f(x)$ の $x=x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ に対するニュートンの補間公式 $$ \tag{6.1} $$ は、点 を通る。

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  $(2.1)$ と似たような表現として、 関数 $f(x)$ を $$ \tag{7.1} $$ と表すことができることを証明する。

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