n+1点を通るn次関数は唯一つ

最終更新 2016年 9月24日
  n+1 個の異なる点
n+1点を通るn次関数は唯一つ00
を通る $n$ 次関数
n+1点を通るn次関数は唯一つ01
は、 唯一つである。

  証明


  連立一次方程式を解く問題
  $n$ 次関数
n+1点を通るn次関数は唯一つ02
が n+1 個の異なる点
n+1点を通るn次関数は唯一つ03
を通ることから、
n+1点を通るn次関数は唯一つ04
が成立する。
  ここで、 n+1 次行列
n+1点を通るn次関数は唯一つ05
と n+1 次ベクトル
n+1点を通るn次関数は唯一つ06
を定義すると、 $(1)$ は、
n+1点を通るn次関数は唯一つ07
と表される。
  $(2)$ または $(1)$ は、 n+1 次の連立一次方程式である。


$X$ は正則行列
  n 次関数 $f(x)$ が唯一つに定まるためには、 各係数 $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$ が唯一つに定まればよい。 そのためには、 $n+1$ 次の連立一次方程式 $(2)$ の解 $\mathbf{a}$ が唯一つに定まればよい。

  ところで、 一般に、 係数行列が正方行列になっている n+1 次の連立一次方程式が 唯一つの解を持つための必要十分条件は、 係数行列が正則行列(逆行列を持つ行列)になっていることである 。

  従って、 $(2)$ の係数行列 $X$ が正則行列であることが示されれば、 $(2)$ を解くことによって、 唯一つの $\mathbf{a}$ が得られることを示したことになる。 その結果、 $f(x)$ が唯一つに定まる。
  そこで、 係数行列 $X$ に着目すると、 転置行列
n+1点を通るn次関数は唯一つ08
が、 ヴァンデルモンド行列になっている。 ヴァンデルモンド行列の行列式は、
n+1点を通るn次関数は唯一つ09
となることが知られている。 ここで、 $\prod_{1 \leq i < j \leq n}$ とは、 $i < j$ となる全ての組み合わせについて、 $\left( x_{j}- x_{i} \right)$ を掛け合わせることを意味する。 具体的には、
n+1点を通るn次関数は唯一つ10
である。
  従って、 全ての $x_{i}$ が異なるとしている今回の議論では、 $i \neq j$ の場合には、 $x_{i} \neq x_{j}$ であるから、
n+1点を通るn次関数は唯一つ11
となっている。
  ところで、 転置行列の行列式は、もとの行列式に等しいので、
n+1点を通るn次関数は唯一つ12
が成立する。 これらから、
n+1点を通るn次関数は唯一つ13
である。
  一般に、 行列式が $0$ でない行列は、 正則行列であるので、 $X$ は、正則行列である。

結論
  以上のように、 $X$ が正則行列であるので、 連立一次方程式 $(2)$ は、 唯一つの解を持つ。 よって、 $(2)$ を解くと、 係数 $a_{0}, a_{1} \cdots, a_{n}$ が唯一つに定まるので、その結果、 $f(x)$ が唯一つに定まる。
  ゆえに、 n+1 点を通る n 次関数は唯一つに定まる。