$\log f(x)$ が最大になるとき、$f(x)$ も最大になる

  正の関数 $f(x)$ の対数 $\log f(x)$ が $x=x_{m}$ で最大値をとるならば、 もとの関数 $f(x)$ もまた $x=x_{m}$ で最大になる。
  また、その逆も成立する。 よって、$f(x)>0$ ならば

正の関数の対数が最大になるとき、その関数も最大00

が成立する。
最終更新 2017年 1月28日


  証明

  正の関数 $f(x)$ の対数 $\log f(x)$ が $x=x_{m}$ で最大になると仮定する。 すなわち、任意の $x$ に対して、

正の関数の対数が最大になるとき、その関数も最大01

が成立すると仮定する。
  これを書き換えると、

正の関数の対数が最大になるとき、その関数も最大02

となるので、 $\log$ が単調増加関数であることから、

正の関数の対数が最大になるとき、その関数も最大03

が成立する。 ここから、

正の関数の対数が最大になるとき、その関数も最大04

を得る。
  これは、 関数 $f(x)$ が $x=x_{m}$ で最大になることを表している。


    今度は逆に、正の関数 $f(x)$ が $x=x_{m}$ で最大になると仮定する。 すなわち、任意の $x$ に対して、

正の関数の対数が最大になるとき、その関数も最大05

が成立すると仮定する。
  $f(x) > 0$ であるので、

正の関数の対数が最大になるとき、その関数も最大06

とすることができ、 $\log$ が単調増加関数であることから、

正の関数の対数が最大になるとき、その関数も最大07

が成立する。 ここで、$\log 1 = 0$ を用いた。
  ここから、

正の関数の対数が最大になるとき、その関数も最大08

を得る。 これは、 $\log f(x)$ が $x=x_{m}$ で最大になることを表している。










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