関連

  線形独立と線形従属

  ベクトルの集合 $\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots, \mathbf{x}_{n}$ が

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明00

を満たすとする。 このとき、全ての係数が 0 であるならば、すなわち、

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明01

であるならば、$\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots, \mathbf{x}_{n}$ は線形独立であるという。

線形独立/線形従属の定義と例はこちら


  ベクトル空間の基底と次元の定義

  線形独立なベクトル
線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明02
の線形結合によって構成されるベクトル空間を $V$ とする。
  このとき上の $ \mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n} $ をベクトル空間 $V$ の基底(basis)またはと呼ぶ。 また、基底の数 $n$ を $V$ の次元といい、 $$ \dim V = n $$ と表す。
ベクトル空間の基底と次元の例はこちら


  正規直交基底の定義

  ベクトル空間 $V$ のベクトル $$ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \cdots, \mathbf{e}_{n} \tag{2} $$ が次の $3$ つの条件を満たすとき、すなわち、

 (i)  $V$ の任意のベクトルが $(2)$ の線形結合によって表される
 (ii)  どの2つのベクトルを選んでも、直交する。
 (iii)  どのベクトルも大きさが1である。

を満たすとき、 $(*)$ を $V$ の正規直交基底(orthonomal basis)、または、完全正規直交系という。

正規直交基底の例はこちら


  線形結合の係数は唯一つ

  任意のベクトル $\mathbf{x}$ が線形独立なベクトル $ \{ \mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \mathbf{a}_{n}\} $ の線形結合によって、

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明02

と表されているとき、$\alpha_{i}$ 以外の係数 $\beta_{i}$ によって、

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明03

のように表されることはない。
  言い変えると、 線形結合の係数は唯一つである。

線形結合の係数はただ一つの証明はこちら


  次元と同じ数だけある線形独立なベクトルは基底になる

  $n$ 次元ベクトル空間 $V$ に含まれる $n$ 個の互いに線形独立なベクトル $$ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \cdots, \mathbf{w}_{n} $$ は、 $V$ の基底になる。

次元と同じ数だけある線形独立なベクトルは基底になる証明はこちら


  線形結合で構成されるベクトルの組の次元

  ベクトルの集合

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明04

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明05
があるとき、

  「$X$ の次元が $d$ であり、 $Y$ の元が $X$ の元の線形結合によって表されるならば、 $Y$ の次元は $d$ 以下である。」

線形結合で構成されるベクトルの組の次元の証明はこちら


  任意のベクトルを含む基底の存在

  $\mathbf{x}$ を $n$ 次元ベクトル空間 $V$ の $0$ でない任意のベクトルとするとき、 $V$ の中には、$\mathbf{x}$ を含む互いに線形独立なベクトル $n$ 個のベクトル

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明06

が存在する。
  すなわち、 ベクトル空間には 任意のベクトルを含む基底が存在する。

任意のベクトルを含む基底の存在の証明はこちら


  部分空間の基底を含む基底の存在

  $n$ 次元ベクトル空間 $V$ に含まれる $d$ 次元部分空間を $W$ とし、 $W$ に含まれる $d$ 個の互いに線形独立なベクトル ($W$ の基底) を

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明07

とする。 この基底に、$n-d$ 個の互いに線形独立なベクトル

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明08

を追加することによって、 $n$ 個の互いに線形独立なベクトル

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明09

を構成することができる。
  言い換えると、 ベクトル空間には、 部分空間の任意の基底を含む基底が存在する。

部分空間の基底を含む基底の存在の証明はこちら


  部分空間の正規直交系を含む完全正規直交系の存在

  $n$ 次元ベクトル空間 $V$ に含まれる $d$ 次元部分空間を $W$ とし、 $W$ を構成する正規直交系を

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明10

とする。 この正規直交系に、 $n-d$ 個の互いに直交するベクトル

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明11

を追加することによって、 完全正規直交系

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明12

を構成することができる。
  言い変えると、 ベクトル空間には、 部分空間の任意の正規直交基底を含む正規直交基底が存在する。

部分空間の正規直交系を含む完全正規直交系の存在の証明はこちら


  単位行列を完全正規直交系で表す

  $n$ 次元ベクトル空間上の単位行列 $I$ は、 任意の完全正規直交系

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明13

によって、

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明14
と表される。

単位行列を完全正規直交系で表せることの証明はこちら


  自明な解のみ $\Longleftrightarrow$ 列ベクトルが線形独立

  係数行列を $A$ とする同次連立一次方程式

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明15

の解が自明な解 $\mathbf{x} = 0$ のみであることと、$A$ の列ベクトルが互いに線形独立であることは同値である。 すなわち、

線形独立・基底・次元に関する重要な性質とその証明16

が成立する。

自明な解のみ $\Longleftrightarrow$ 列ベクトルが線形独立の証明はこちら


  行列式がゼロ  ⇔  列ベクトルが線形独立

  $A$ を $n$ 次正方行列、$\mathbf{x}$ を $n$ 個の成分を持つ列ベクトルとするとき、 $A$ の行列式が $0$ であることと、$A$ の列ベクトルが互いに線形独立であることは、 同値である。 すなわち、

列ベクトルが線形独立であることと行列式がゼロであることは同値00

が成立する。

行列式がゼロ  ⇔  列ベクトルが線形独立の証明はこちら









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