線形結合の係数は唯一つ

  任意のベクトル $\mathbf{x}$ が線形独立なベクトル $ \{ \mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \mathbf{a}_{n}\} $ の線形結合によって、

線形結合の係数は唯一つ00

と表されているとき、$\alpha_{i}$ 以外の係数 $\beta_{i}$ によって、

線形結合の係数は唯一つ01

のように表されることはない。
  言い変えると、 線形結合の係数は唯一つである。
最終更新 2016 年 5 月 3日


  証明

  任意のベクトル $\mathbf{x}$ が線形独立なベクトル

線形結合の係数は唯一つ02

の線形結合によって、

線形結合の係数は唯一つ03

と表されているとする。
  一方、 同じベクトル $\mathbf{x}$ が $(1)$ の線形結合によって、

線形結合の係数は唯一つ04

と表されていると仮定する。
  $(2)$ から $(3)$ を引くと、

線形結合の係数は唯一つ05

となるが、 $(1)$ が線形独立であるので、 各係数は 0 でなくてはならない。 すなわち、

線形結合の係数は唯一つ06

が成立する。
  これは、$(2)$ の線形結合の表現と $(3)$ の線形結合の表現が同じ表現であることを表している。 よって、 線形結合の係数は、唯一つである。





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