恒等式

  レビチビタの記号は

レビチビタの性質00

を満たす。
最終更新 2018年1月28日


  証明

  $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\}$ を右手系を成す正規直交系とすると、

レビチビタの性質01

が成立するので、レビチビタの記号 $\epsilon_{ijk}$ は、 ベクトル三重積によって

レビチビタの性質02

と表せる (例えば $i=1,j=2,k=3$ の場合には、 $\epsilon_{123} = 1$ であり、 $( \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2} \times \mathbf{e}_{3}) = ( \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{1}) = 1$ である)。
  従って



が成立する。
  一般にスカラー三重積は、それを構成する三つのベクトルを列ベクトルとする行列の行列式に等しい。 ゆえに上式の右辺に現れたスカラー三重積は、

レビチビタの性質04

と表せる。 これより

レビチビタの性質05

と表せる。
  一般に転置行列の行列式はもとの行列の行列式と等しい $(|A^{T}| = |A|)$。 このことから

レビチビタの性質06

が成立する。したがって

レビチビタの性質07

と表せる。
  また、 行列の積の行列式は行列式の積に等しい $(|AB| = |A| |B|)$ ことから、

レビチビタの性質08

が成立する。したがって

レビチビタの性質09

と表せる。
  $\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\}$ が正規直交系をなすことから、 $ (\mathbf{e}_{i}, \mathbf{e}_{j}) = \delta_{ij}$ であるので、上の式は、

レビチビタの性質10

と表せる。
  また、右辺を 1 行について余因子展開することにより、

レビチビタの性質11

と表せる。
  ここで、クロネッカーのデルタの定義

レビチビタの性質12

に注意すると、右辺の3つの項は

レビチビタの性質13

を満たすので、

レビチビタの性質14

を得る。








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