余弦定理について

余弦定理 (証明)

$\triangle OAB$ の辺 $OA$, $OB$, $AB$ の長さをそれぞれ $a$, $b$, $c$ とする。また、 $\angle AOB = \theta$ とする (下図)。

このとき、次の関係が成り立つ。

この関係を余弦定理 (Law of cosines) という。

証明
点 $A$ から辺 $OB$ に下ろした垂線の足 (投影点) を $P$ とする。また、$OP$, $PA$, $PB$ の長さをそれぞれ $p$, $p_{a}$, $p_{b}$ と表す (下図)。

$\triangle AOP$ に着目すると、三角関数の定義から

である。また明らかに

である。 $\triangle APB$ に着目すると、三平方の定理から

である。以上から、

を得る。

例題1

$\triangle OAB$ の辺 $OA$, $OB$, $AB$ のの長さをそれぞれ $4$, $3$, $5$ とする (下図)。

このとき、余弦定理を用いて $\angle AOB $ を求めよ。

証明
$\angle AOB = \theta$ と置く。余弦定理より、

が成り立つ。これより、

であるので、

である (ここで $\theta$ が三角形の内角であるので、$0 \lt \theta \lt \pi$ であることを用いた)。

例題2

$\triangle OAB$ の辺 $OA$, $OB$ の長さをそれぞれ $6$, $8$ とし、$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$ であるとする (下図)。

このとき、余弦定理を用いて辺 $ AB $ の長さを求めよ。

証明
辺 $AB = c$ とすると、余弦定理より、

が成り立つ。これより、

である。

ベクトルを用いた余弦定理

$\triangle OAB$ のベクトル $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ をそれぞれ、

とし、$\angle AOB = \theta$ とする。

このとき、余弦定理は

と表される。ここで $\| \cdot \|$ はノルムを表す記号である。

証明
$A$ から直線 $OB$ に下した垂線の足 (投影点) を $C$ とすると、三角関数の定義から、辺 $OC$ と辺 $AC$ の長さは、それぞれ

$$ \tag{1} $$ と表される。 $B$ から $A$ に向かうベクトルが $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ であることから、辺 $AB$ の長さの二乗は、

$$ \tag{2} $$ である。一方、辺 $AB$ の長さの二乗は三平方の定理と $(1)$ によって、

とも表される。ここで、 $(1)$ から $CB$ の長さが、

であることから、

$$ \tag{3} $$ である。以上の $(2)$ と $(3)$ から、

$$ \tag{4} $$ を得る。
見方を変えると、この関係は左辺の $\| \mathbf{a} - \mathbf{b} \|^2$ をノルムの定義と内積のルールに従って展開したに過ぎない。すなわち、

と $(4)$ が得られる。最後の等号では内積とコサインの関係を用いた。