余弦定理

  任意の3次元ベクトルを $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ とし、成す角を $\theta$ とするとき、次の関係が成立する。

余弦定理00

この関係を余弦定理(laws of cosines)と呼ぶ。
最終更新 2016年 2月6日


    証明

  原点 $O$ と点 $A$, $B$ を結ぶ三角形を $OAB$ に着目し、 原点 $O$ から頂点 $A$ と $B$ に向かうベクトルをそれぞれ $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ と表す。 すなわち、

余弦定理01

とする。 また、 $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の成す角を $\theta$ とする (下図) 。
余弦定理の証明00

  $A$ から 直線 $OB$ に下した垂線と $OB$ との交点を $C$ とすると、 三角関数の定義から、辺 $OC$ と 辺 $AC$ の長さは、それぞれ

余弦定理02

と表される。
  辺 $AB$ の長さは、 $B$ から $A$ に向かうベクトルが $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ であることから、

余弦定理03
である。
  一方、 辺 $AB$ の長さは、 三平方の定理 と $(1)$ によって、

余弦定理04

とも表される。 ここで、 $(1)$ より、 $CB$ の長さが、

余弦定理05

であることから、

余弦定理06

が成立する。
  以上の $(2)$ と $(3)$ から、

余弦定理07

が成立する。 右辺を整理すると、余弦定理

余弦定理08
を得る。










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