ラグランジュ補間の例題   2次補間   

最終更新 2017年 5月5日
  関数 $f(x)$ 上の 3点 $(x_{0}, f(x_{0}))$、$(x_{1}, f(x_{1}))$、$(x_{2}, f(x_{2}))$ を通る 2次関数 $p(x)$ は、
ラグランジュ二次補間
と表される。 これをラグランジュの補間公式 (二次補間の場合) という。
  この公式は関数 $f(x)$ を
と二次関数 $p(x)$ で近似するときに用いられる。

  詳細

  ラグランジュ補間公式から直接導出してもよいが、 ここでは公式の導出と同様の議論を行って、$p(x)$ を求めることにする。
  二次関数 $p(x)$ を 二次関数 $L_{i}(x)$ $(i=0,1,2)$ によって
と置き、 異なる3点
を通るための条件を考える。
  $p(x)$ が 3 点 $(2)$ を通ることは
と表されるので、 $(1)$ の $L_{i}(x)$ が
を満たせば、 $(3)$ が成立する。 そこで、 これらの条件を満たす $L_{i}(x)$ を以下のように求める。
  $L_{0}(x_{1}) = 0$ と $L_{0}(x_{2}) = 0$ を満たす二次関数 $L_{0} (x)$ は、 因数定理によって、
と表すことができる。 ここで $\alpha_{0} $ は定数であるが、 $L_{0}(x_{0}) = 1$ から
と求まる。 ゆえに、
を得る。
  同じように $L_{1}(x_{0}) = 0$ と $L_{1}(x_{2}) = 0$ を満たす二次関数 $L_{1} (x)$ は、 因数定理によって、
と表すことができる。 ここで $\alpha_{1} $ は定数であるが、 $L_{1}(x_{1}) = 1$ から
と求まる。 ゆえに
を得る。
  最後に $L_{2}(x_{0}) = 0$ と $L_{2}(x_{1}) = 0$ を満たす二次関数 $L_{2} (x)$ は、 因数定理によって、
と表すことができる。 ここで $\alpha_{2} $ は定数であるが、 $L_{2}(x_{2}) = 1$ から
と求まる。 ゆえに
を得る。
  以上のように $L_{i}(x)$ が求められたので $(2)$ に代入することにより、 $p(x)$ が
と求まる。 実際にこのように表した $p(x)$ が 3 点 $(1)$ を通ることは、 代入によって確かめられる。
  $p(x)$ は単に3点を通る二次関数を通る二次関数であるが、 関数 $f(x)$ 上の 3 点を通過することから、 $f(x)$ を近似する二次関数として見なされる。
具体例:
  3点 $(-1,6)$, $(2,3)$, $(5, 9)$ を通る二次関数 $p(x)$ は、 上の結果により、
である。