正則行列と逆行列 ～公式と性質～

証明
  $A$ が正則行列であるので、$A$ には を満たす $A^{-1}$ が存在する。 このとき $ A \mathbf{x} =\mathbf{0} $ を満たす $\mathbf{x}$ は である。 すなわち、 $ A \mathbf{x} =\mathbf{0} $ には 自明な解しかない。 $A$ を $n \times n$ 行列であるとし、 列ベクトル $\mathbf{a}_{i}$ によって、 と表わす。 また $\mathbf{x}$ を成分によって と表すと、 $A\mathbf{x}=0$ は、 と表される。 ゆえに、 $A\mathbf{x}=0$ の解が $\mathbf{x}=0$ のみであることは、 と表される。 これは、 ベクトルの組 $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \mathbf{a}_{n}$ が線形独立であることの定義そのものである。 従って $A$ の列ベクトルは互いに線形独立である。   一般に列ベクトルが互いに線形独立な行列を行基本変形によって簡約化した行列は、 の形になることが知られている (証明は「列ベクトルが線形独立な行列の簡約化」を参考)。 すなわち、 簡約化された行列は、 基本ベクトル が順に並ぶ行列になる。 従って、 $A$ の列ベクトルが線形独立であるならば、 $A$ を簡約化した行列 $A^{r}$ は 単位行列 $I$ になる。 すなわち、 $$ \tag{1} $$ になる。
  これを踏まえて、 $A$ を係数行列とする $n$ 次の連立一次方程式 に着目する。 ここで、 $\mathbf{u}$ は方程式の解であり、 $\mathbf{b}$ はどんな $n$ 次ベクトルであっても構わない。 $A \mathbf{u} = \mathbf{b} $ は、 $n$ 個の式から成る連立一次方程式であるが、

(a) 式の順番を入れ替える
(b) 式を定数倍する
(c) 式同士を足し合わせる

という操作を行ったとしたとしても解は変わらない。 また、 これらの操作は行うことは、 係数行列 $A$ を行基本変形させることに相当する。 すなわち、 $A \mathbf{u} = \mathbf{b} $ に (a)-(c) の操作の実行した連立一次方程式は、 その操作に対応する行基本変形を $A$ に対して行って得られる行列 $A'$ によって、 と表される。 ここで、 $\mathbf{b}'$ は $A$ から $A'$ が得られるときに実行した行基本変形を $\mathbf{b}$ に対して行って得られるベクトルである。 ところで、 一般に簡約化された行列は、もとの行列を行基本変形して得られる。 よって、 $A \mathbf{u} = \mathbf{b} $ に対して (a)-(c) の操作を $A$ が簡約化されるように組み合わせて行うと、 $A^{r}$ を係数行列とする連立一次方程式 が得られる。 ここで、 $\mathbf{b}^r$ は $A$ から $A^r$ が得られるときに実行した行基本変形を $\mathbf{b}$ に対して行って得られるベクトルである。 これと $(1)$ から を得る。 すなわち、 連立一次方程式 $A \mathbf{u} = \mathbf{b}$ の解は $\mathbf{b}^{r}$ である。
  $\mathbf{b}^{r}$ は、 $\mathbf{b}$ を行基本変形して得られるベクトルであるので、 任意の $\mathbf{b}$ に対して、 唯一つだけ存在するベクトルである。 したがって、 連立一次方程式 $A \mathbf{u} = \mathbf{b}$ は、 唯一つの解を持つ。
  このことは $\mathbf{b} = \mathbf{e}_{i}$ の場合であっても成り立つので、 連立一次方程式 を満たす解 $\mathbf{u}_{i}$ は、 それぞれの $i$ に対して唯一つ存在する。 このような $\mathbf{u}_{i}$ によって、 $n$ 次正方行列 $U$ を と定義すると、 $U$ は を満たす。 ここで、 $I$ は単位行列であり、 $\mathbf{e}_{i}$ が基本ベクトルであることを用いた。
  これより が成り立つので (証明は逆行列は片側のみで定義可能を参考)、 $U$ は $A$ の逆行列である。 このように $A$ には逆行列が存在するので、 正則行列である。