証明
複素ベクトルの内積の定義より、
ベクトル $\mathbf{x}$ と $A \mathbf{y}$ の間の内積は、
と表せる。
ここで $(A \mathbf{y})_{i}$ は、
ベクトル $A \mathbf{y}$ の第 $i$ 成分であり、
行列とベクトルの積の定義により、
と表せることを用いた。
ところで、行列 $A$ の随伴行列 $A^{\dagger}$ とは、
$A$ の
転置行列の各成分を複素共役にしたものである。
すなわち、
$A$ の各成分を $A_{ji}$ と書き表すとき、
$A^{\dagger}$ の各成分 $A^{\dagger}_{ji}$ は、
である。
これと複素数の複素共役の複素共役が元の値に等しいこと $(z^{*})^{*} = z$
を用いると、
が成立するので、
$(1)$ に代入すると、
と表せる。
ここで $\sum_{i=1}^{n} A^{\dagger}_{ji} x_{i}$ は、ベクトル $A^{\dagger}\mathbf{x}$ の第 $j$ 成分であるので、すなわち、
であるので、
と表せる。
最後に複素内積の定義から
が成立することが分かる。
補足:
本サイトでは、
随伴の記号に $\dagger$ を用い、
複素共役に $*$ を用いているが、
これは物理学や一部の工学の慣習に従っている。
一方で数学の世界では、
随伴の記号に $*$ を用い、
複素共役にバー ( 例: $\overline{A}$ ) を用いることが多い。
また、
随伴行列 (adjoint matrix) はエルミート共役行列 (Hermiter conjugate matrix) と呼ばれることもある。
