因数定理

  多項式 $f(x)$ が $x-a$ で割り切れるための必要十分条件は、

因数定理00

である。 これを因数定理 (factor theorem) と呼ぶ。
最終更新 2015 年 8月 28日


  証明

  はじめに

因数定理01

を示す。
  多項式 $f(x)$ を $x-a$ で割ったときの商を $q(x)$、余りを $r$ とする。すなわち、

因数定理02

とする。
  $f(x)$ が $x-a$ で割り切れるとしたので、$r=0$ である。 このとき $f(x)$ は、

因数定理03

と表せる。 よって、$f(a) = 0$ である。

  次に

因数定理04

を示す。
  上と同様に、多項式 $f(x)$ を $x-a$ で割ったときの商を $q(x)$、余りを $r$ とする。すなわち、

因数定理05

とする。これより、

因数定理06

が成立する。
  $f(x)$ が $x-a$ で割り切れると仮定したことから、 $f(a)=0$ である。ゆえに、

因数定理07

が成立する。 よって、$f(x)$ は、

因数定理08

と表せる。
  これは、$f(x)$ が $x-a$ で割り切れることを表している。

  補足

  この定理により、$n$ 次多項式 $f(x)$ が $f(a)=0$ を満たす場合には、$f(x)$ を

因数定理09

と表せる。ここで $q(x)$ は $n-1$ 次多項式である。








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