固有値の異なる固有ベクトルは、互いに線形独立

  固有値の異なる固有ベクトルは、互いに線形独立である。


最終更新 2016年 10月 30日


  準備  

  $\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{n}$ を、 行列 $A$ の固有ベクトルとし、それぞれの固有値が互いに異なるとする。 すなわち、

固有値の異なる固有ベクトル00

において、

固有値の異なる固有ベクトル01

とする。
  これに対し、

固有値の異なる固有ベクトル02

を仮定して、

固有値の異なる固有ベクトル03

であれば、$\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{n}$ は、互いに線形独立である (線形独立の定義を参考)。ここで、$\mathbf{0}$ は、全ての成分が $0$ のベクトルである。
  以下では、$(3)$ を仮定し、$(4)$ が成立することを条件 $(1),(2)$ から証明する。


  証明  

  $(3)$ に、行列 $A$ を作用すると、$(1)$ から

固有値の異なる固有ベクトル04

である。もう一度作用すると、再び $(1)$ から

固有値の異なる固有ベクトル05

である。このような操作を $n-1$ 回繰り返し、 $(3)$ も含めて並べると、

固有値の異なる固有ベクトル06

と表される。
  これらの式は、行列を用いて、

固有値の異なる固有ベクトル07
と表せる。ここで、行列 $V$ を

固有値の異なる固有ベクトル08

と定義し、 行列 $O$

固有値の異なる固有ベクトル09

と定義すると、$O$ は、 全ての成分が $0$ の正方行列であり、 $(5)$ は、

固有値の異なる固有ベクトル10

と表される。
  ところで、$V$ は、ヴァンデルモンド行列であるので、 行列式が

固有値の異なる固有ベクトル11

と表される (この表現については、ヴァンデルモンドの行列式を参考)。 具体的に表すと、

固有値の異なる固有ベクトル12

である。 従って、$(2)$ の条件がある場合には、行列式 $|V|$ が $$ |V| \neq 0 $$ である。
  一般に、転置行列の行列式がもとの行列式に等しいことから、 $$ |V^{T}| = |V| $$ であるので、 $|V^{T}|$ もまた $0$ でない。すなわち、

固有値の異なる固有ベクトル15

である。
  行列式が $0$ でない行列は、逆行列を持つので、 $(7)$ より、

固有値の異なる固有ベクトル16

を満たす $(V^{T})^{-1}$ が存在する。
  この $(V^{T})^{-1}$ に $(6)$ の左辺を掛けることによって、

固有値の異なる固有ベクトル17
を得る。 一方で、$(8)$ の左辺は、$(6)$ から、

固有値の異なる固有ベクトル18

であるので、$(8)$ と $(9)$ から、

固有値の異なる固有ベクトル19

が成立する。
  これより、 $$ c_{i} \mathbf{u}_{i} = \mathbf{0} $$ $(i=1,2,\cdots,n)$ であるが、 各 $\mathbf{u}_{i}$ は、固有ベクトルであるので、 $$ \mathbf{u}_{i} \neq 0 $$ である。よって、 $$ c_{i} = 0 $$ が成立する。
  以上より、 $(3)$ のもとで、$(4)$ が成立することが示されたので、 $\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{n}$ は、互いに線形独立である。







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