行列式の基本的な性質とその証明

最終更新 2017年 7月8日

概要

  行列式における などの基本的な性質であるを以下にまとめる。 これらの性質は行列式に関連する証明や計算を行うときによく現れる。 個々の性質には証明へのリンクが付けられている。

行や列の入れ替え

  行列 $A$ の $i$ 列と $j$ 列を入れ替えた行列を $A^{(i\leftrightarrow j)}$ とすると、 その行列式はもとの行列式と符号だけ異なる。 すなわち である。
  また、 行列 $A$ の $i$ 行と $j$ 行を入れ替えた行列を $A^{(i\hspace{1mm} \updownarrow \hspace{1mm}j)}$ とすると、 その行列式はもとの行列式と符号だけ異なる。 すなわち である。

同一の列を持つ行列式は $0$

  $n $ 次正方行列 $A$ の $i$ 番目と $j$ 番目の列ベクトルをそれぞれ $\mathbf{a}_{i}$, $\mathbf{a}_{j}$ $(i\neq j)$ とし、 行列 $A$ を と表す。
  $\mathbf{a}_{i}$ と $\mathbf{a}_{j}$ が等しい場合、 $A$ の行列式は $0$ である。 すなわち、 が成立する。

同一の行を持つ行列式は $0$

  $n$ 次正方行列 $A$ の $i$ 番目と $j$ 番目の行ベクトルをそれぞれ $\mathbf{a}_{i}$, $\mathbf{a}_{j}$ $(i \neq j)$ とし、 行列 $A$ を と表す。
  $\mathbf{a}_{i}$ と $\mathbf{a}_{j}$ が等しい場合、 $A$ の行列式は $0$ である。 すなわち、 が成立する。

列ベクトルが定数倍された場合の行列式

  $n$ 次正方行列 $A$ の $i$ 番目の列ベクトルを $\mathbf{a}_{i}$ とし、 行列 $A$ を と表したとき、$\mathbf{a}_{i}$ を定数倍した行列 の行列式は、 行列 $A$ の行列式の定数倍である。 すなわち、 である。

行ベクトルが定数倍された行列式

  $n$ 次正方行列 $A$ の $i$ 番目の行ベクトルを $\mathbf{a}_{i}$ とし、 行列 $A$ を と表したとき、 $\mathbf{a}_{i}$ を定数倍した行列 の行列式は、 行列 $A$ の行列式の定数倍である。 すなわち、 である。

定数倍された行列の行列式

  $A$ を $n$ 次正方行列とするとき、 $A$ の定数倍の行列式は、$A$ の行列式の $n$ 乗倍である。すなわち、 が成立する。

列ベクトルが和になっている行列式

    行列の列ベクトルが和で表される行列式は、次の関係を満たす。   すなわち、和のそれぞれの項を持つ行列式の和に分解できる。

行ベクトルが和になっている行列式

  行ベクトルが和で表される行列式は、次の性質を満たす。 すなわち、 和の各項を行ベクトルに持つ行列の行列式の和に分解できる。

ある行に別の行を加えても行列式の値は変わらない

  正方行列の任意の行に他の行の定数倍を加えても行列式は変わらない。 すなわち、 とするとき、 が成立する。

  1 列の第 2 成分以降が 0 の行列式

  $n \times n$ の正方行列 $A$ の $1$ 列めの列ベクトルの第 2 成分以降が $0$ の場合、 すなわち、 と表される場合、$A$ の行列式は、次のように表される。