行列式は固有値の積に等しい
任意の $n$ 次正方行列 $A$ の行列式は、$A$ の固有値を全て掛けた積に等しい。すなわち、
が成立する。
ここで
$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ は、
$A$ の固有値である。
証明
$A$ の固有ベクトルと固有値とは、
を満たす
のベクトル $\mathbf{u}$ と、値 $x$ である。
$(1)$ は、
と表してもよい。
この式は同次連立一次方程式であるので、
$(2)$ を満たす解を持つこと(自明な解 ($\mathbf{x}=\mathbf{0}$) のみではないこと)と、
係数行列の行列式が $0$ であることが同値であることが知られている
(証明は
同次連立一次方程式が自明な解以外の解を持つ場合を参考)。
したがって、
が成立する。
$A$ が $n$ 次正方行列であるので、
$(3)$ の左辺は $x$ の $n$ 次多項式である (
行列式の定義を参考)。
一般に $n$ 次多項式は、
$n$ 個の積による因数分解が可能であるので
(
因数定理を参考)、
$(3)$ の左辺を
と表すことができる。
これと $(3)$ から、
が成立するので、
である。すなわち、$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots \lambda_{n}$ は、
$A$ の固有値である。
ところで、
$(4)$ は任意の $x$ に対して成立するので、
$x=0$ の場合も成立する。
この場合、$(4)$ は、
と表される。
この式の左辺は、
行列式の定義から、
であり、
右辺を整理すると、
である。
ゆえに、
が成立する。
よって、
$A$ の行列式は $A$ の固有値を全て掛けた積に等しい。
例:
行列
の行列式は、
である。
一方で、
固有値は、
であるので、
固有値の積が $-1$ である。
よって、
$(5)$ が成立する。