積の微分、商の微分、和の微分

	目次
-	準備
-	積の微分の公式
-	例題
-	商の微分の公式
-	例題
-	和の微分の公式
-	例題

準備

以下の証明で用いる定義と定理をここに記す。
$(0)$ 次の極限

が収束する(有限な値を持つ)とき、 $h(x)$ が $x=a$ で微分可能であるといい、その極限値を次のように表す。

$(1)$ 関数の和の極限は極限の和に等しい

$(2)$ 関数の定数倍の極限は極限の定数倍に等しい

$(3)$ 関数の積の極限は極限の積に等しい

$(4)$ 関数の商の極限は極限の商に等しい

$(5)$ 微分可能な関数は連続

積の微分の公式

関数 $f(x)$ と $g(x)$ がある区間 $A$ において微分可能であるとき、積 $f(x)g(x)$ もまたその区間で微分可能であり、

が成り立つ。

証明
任意の $a \in A$ において

が成り立つ。ここで、2つめの等号では $(1)$ を、 3つめの等号では $(2)$ と $(3)$ を、 4つめの等号では $(0)$ と $(5)$ を用いた。
$f(x)$ と $g(x)$ が区間 $A$ において微分可能であるので、右辺は有限な値である。したがって、関数 $f(x)g(x)$ は微分可能である。そこで $(0)$ に従って

と表すと、上の関係は

と表される。任意の $a \in A$ に対して、この関係が成り立つので、

である。

例題:
関数 $x \cos x$ に対し、 $f(x)=x$、$g(x)=\cos x$ と置くと、

となる。

商の微分の公式

関数 $f(x)$ と $g(x)$ がある区間 $A$ において微分可能であるとき、関数の商 $\frac{f(x)}{g(x)}$ もまたその区間で微分可能であり、

が成り立つ。ただし、$g(x) \neq 0$ とする。

証明
任意の $a \in A$ において、 $g(a) \neq 0$ のとき、

が成り立つ。ここで、3つめの等号では $(2)$ を、 4つめの等号では $(3)$ を、 5つめの等号では $(1)$ と $(2)$ と $(4)$ を、 6つめの等号では $(0)$ と $(5)$ を用いた。
$f(x)$ と $g(x)$ が区間 $A$ において微分可能であり、 $g(a) \neq 0$ であるので、右辺は有限な値である。したがって、関数 $\frac{f(x)}{g(x)}$ は微分可能である。そこで $(0)$ に従って