積の微分、商の微分、和の微分
準備
以下の証明で用いる定義と定理をここに記す。
$(0)$ 次の極限
が収束する(有限な値を持つ)とき、
$h(x)$ が $x=a$ で
微分可能であるといい、
その極限値を次のように表す。
$(1)$
関数の和の極限は極限の和に等しい
$(2)$
関数の定数倍の極限は極限の定数倍に等しい
$(3)$
関数の積の極限は極限の積に等しい
$(4)$
関数の商の極限は極限の商に等しい
$(5)$
微分可能な関数は連続
積の微分の公式
関数 $f(x)$ と $g(x)$ がある区間 $A$ において
微分可能であるとき、
積 $f(x)g(x)$ もまたその区間で微分可能であり、
が成り立つ。
証明
任意の $a \in A$ において
が成り立つ。
ここで、2つめの等号では $(1)$ を、
3つめの等号では $(2)$ と $(3)$ を、
4つめの等号では $(0)$ と $(5)$ を用いた。
$f(x)$ と $g(x)$ が区間 $A$ において微分可能であるので、
右辺は有限な値である。
したがって、関数 $f(x)g(x)$ は微分可能である。
そこで $(0)$ に従って
と表すと、上の関係は
と表される。
任意の $a \in A$ に対して、この関係が成り立つので、
である。
例題:
関数 $x \cos x$ に対し、
$f(x)=x$、$g(x)=\cos x$ と置くと、
となる。
商の微分の公式
関数 $f(x)$ と $g(x)$ がある区間 $A$ において
微分可能であるとき、
関数の商 $\frac{f(x)}{g(x)}$ もまたその区間で微分可能であり、
が成り立つ。ただし、$g(x) \neq 0$ とする。
証明
任意の $a \in A$ において、
$g(a) \neq 0$ のとき、
が成り立つ。
ここで、3つめの等号では $(2)$ を、
4つめの等号では $(3)$ を、
5つめの等号では $(1)$ と $(2)$ と $(4)$ を、
6つめの等号では $(0)$ と $(5)$ を用いた。
$f(x)$ と $g(x)$ が区間 $A$ において微分可能であり、
$g(a) \neq 0$ であるので、
右辺は有限な値である。
したがって、関数 $\frac{f(x)}{g(x)}$ は微分可能である。
そこで $(0)$ に従って
と表すと、上の関係は
と表される。
任意の $a \in A$ に対して、この関係が成り立つので、
である。
例:
関数 $\frac{\cos x}{x}$ に対し、
$f(x)=\cos x$、$g(x)= x$ と置くと、
となる。
和の微分の公式
関数 $f(x)$ と $g(x)$ がある区間 $A$ において
微分可能であるとき、
積 $f(x)+g(x)$ もまたその区間で微分可能であり、
が成り立つ。
証明
任意の $a \in A$ において
が成り立つ。
ここで、1つめの等号では $(1)$ を、
3つめの等号では $(0)$ を用いた。
$f(x)$ と $g(x)$ が区間 $A$ において微分可能であるので、
右辺は有限な値である。
したがって、関数 $f(x)+g(x)$ は微分可能である。
そこで $(0)$ に従って
と表すと、上の関係は
と表される。
任意の $a \in A$ に対して、この関係が成り立つので、
である。
例:
関数 $x+\sin x$ に対して、 $f(x)=x$、$g(x)=\sin x$ と置くと、
となる。