積の微分、商の微分、和の微分
準備
はじめに、本ページの証明で用いる定義と定理を記す。
$(0)$ 次の極限
積の微分の公式
関数 $f(x)$ と $g(x)$ が区間 $A$ において微分可能であるとき、
積 $f(x)g(x)$ もまたその区間で微分可能であり、
証明
任意の $a \in A$ において
$$
\tag{2.1}
$$
が成り立つ。
ここで、2つめの等号では $(1)$ を、
3つめの等号では $(2)$
と
$(3)$
を、
4つめの等号では $(0)$
と
$(5)$ を用いた。
$f(x)$ と $g(x)$ が区間 $A$ で微分可能であるので、 $f'(a)$ と $g'(a)$ が存在するため (何らかの値であるため)、 $(2.1)$ の極限は収束する。 したがって、 関数 $f(x)g(x)$ は $x=a$ で微分可能である。 そこで $(0)$ に従って
と表すと、上の関係は
と表される。
任意の $a \in A$ に対して、
この関係が成り立つので、
である。
任意の $a \in A$ において
$f(x)$ と $g(x)$ が区間 $A$ で微分可能であるので、 $f'(a)$ と $g'(a)$ が存在するため (何らかの値であるため)、 $(2.1)$ の極限は収束する。 したがって、 関数 $f(x)g(x)$ は $x=a$ で微分可能である。 そこで $(0)$ に従って
例題:
関数 $x \cos x$ に対し、 $f(x)=x$、$g(x)=\cos x$ と置くと、
となる。
関数 $x \cos x$ に対し、 $f(x)=x$、$g(x)=\cos x$ と置くと、
商の微分の公式
関数 $f(x)$ と $g(x)$ が区間 $A$ において微分可能であるとき、
関数の商 $\frac{f(x)}{g(x)}$ もまたその区間で微分可能であり、
証明
任意の $a \in A$ において、 $g(a) \neq 0$ のとき、
$$
\tag{3.1}
$$
が成り立つ。
ここで、3つめの等号では
$(2)$
を、
4つめの等号では
$(3)$
を、
5つめの等号では
$(1)$
と
$(2)$
と
$(4)$
を、
6つめの等号では
$(0)$
と
$(5)$
を用いた。
$f(x)$ と $g(x)$ が区間 $A$ で微分可能であるので、 $f'(a)$ と $g'(a)$ が存在し (何らかの値であり)、 $g(a) \neq 0$ であるので、 $(3.1)$ の極限は収束する。 したがって、関数 $\frac{f(x)}{g(x)}$ は $x=a$ で微分可能である。 そこで $(0)$ に従って
と表すと、上の関係は
と表される。
任意の $a \in A$ に対して、
この関係が成り立つので、
である。
任意の $a \in A$ において、 $g(a) \neq 0$ のとき、
$f(x)$ と $g(x)$ が区間 $A$ で微分可能であるので、 $f'(a)$ と $g'(a)$ が存在し (何らかの値であり)、 $g(a) \neq 0$ であるので、 $(3.1)$ の極限は収束する。 したがって、関数 $\frac{f(x)}{g(x)}$ は $x=a$ で微分可能である。 そこで $(0)$ に従って
例:
関数 $\frac{\cos x}{x}$ に対し、 $f(x)=\cos x$、$g(x)= x$ と置くと、
となる。
関数 $\frac{\cos x}{x}$ に対し、 $f(x)=\cos x$、$g(x)= x$ と置くと、
和の微分の公式
関数 $f(x)$ と $g(x)$ が区間 $A$ において微分可能であるとき、
積 $f(x)+g(x)$ もまたその区間で微分可能であり、
証明
任意の $a \in A$ において
$$
\tag{4.1}
$$
が成り立つ。
ここで、1つめの等号では
$(1)$
を、
3つめの等号では
$(0)$
を用いた。
$f(x)$ と $g(x)$ が区間 $A$ で微分可能であるので、 $f'(a)$ と $g'(a)$ が存在するため (何らかの値であるため)、 $(4.1)$ の極限は収束する。 したがって、関数 $f(x)+g(x)$ は $x=a$ で微分可能である。 そこで、 $(0)$ に従って
と表すと、上の関係は
と表される。
任意の $a \in A$ に対して、この関係が成り立つので、
である。
任意の $a \in A$ において
$f(x)$ と $g(x)$ が区間 $A$ で微分可能であるので、 $f'(a)$ と $g'(a)$ が存在するため (何らかの値であるため)、 $(4.1)$ の極限は収束する。 したがって、関数 $f(x)+g(x)$ は $x=a$ で微分可能である。 そこで、 $(0)$ に従って
例:
関数 $x+\sin x$ に対して、 $f(x)=x$、$g(x)=\sin x$ と置くと、
となる。
関数 $x+\sin x$ に対して、 $f(x)=x$、$g(x)=\sin x$ と置くと、
定数倍の微分
関数 $f(x)$
が区間 $A$
において微分可能であるとき、
定数倍 $C f(x)$ もまたその区間で微分可能であり、
証明
任意の $a \in A$ において
$$
\tag{5.1}
$$
が成り立つ。
ここで、
2つめの等号では定数倍の極限の性質を用いた。
$f(x)$ が区間 $A$ で微分可能であるので、 $f'(a)$ が存在するため (何らかの値であるため)、 $(5.1)$ は収束する。 したがって、関数 $C f(x)$ は $x=a$ で微分可能である。 そこで、 $(0)$ に従って
と表すと、上の関係は
と表される。
任意の $a \in A$ に対して、この関係が成り立つので、
である。
任意の $a \in A$ において
$f(x)$ が区間 $A$ で微分可能であるので、 $f'(a)$ が存在するため (何らかの値であるため)、 $(5.1)$ は収束する。 したがって、関数 $C f(x)$ は $x=a$ で微分可能である。 そこで、 $(0)$ に従って