円柱座標の回転 (Rotation) の求め方  

  ベクトル場 $\mathbf{E}$ の回転 $\nabla \times \mathbf{E}$ を円柱座標系 $(r, \theta, z)$ で表すと、
円柱座標系で表した回転(Rotation)
である。
  ここで $(E_{r}, E_{\theta}, E_{z})$ は、 ベクトル $\mathbf{E}$ の円柱座標系による表現である。  また $\{\mathbf{e}_{r}, \mathbf{e}_{\theta}, \mathbf{e}_{z} \}$ は円柱座標の基底ベクトルである。

  証明

準備
  ベクトル場 $\mathbf{E}$ の回転の定義は、
回転(Rotation	)
である。 ここで $E_{X}, E_{Y}, E_{Z}$ はそれぞれ $\mathbf{E}$ の $X, Y, Z$ 成分である。
  この表現を出発点とし、 $\mathbf{E}$ の回転の円柱座標系による表現を求める。
  各成分 $E_{x}, E_{y}, E_{z}$ は 円柱座標の関数として表されているものとする。 すなわち、
とする。
  デカルト座標 $(X,Y,Z)$ と円柱座標 $(r, \theta, z)$ の間には、
の関係があり、 これより
が成り立つ。 このように 円柱座標はデカルト座標の関数であるので、 円柱座標の関数 $E_{X}, E_{Y}, E_{Z}$ は、 その円柱座標がデカルト座標の関数であるという合成関数である。 すなわち、
と表される合成関数である。
  したがって、 合成関数の微分の連鎖率(チェーンルール)を用いると、 $(1)$ に含まれる微分のそれぞれは、
と表される。 これより回転は、
と表される。
  よって、 回転を円柱座標で表現するためには、 ベクトル $\mathbf{E}$ のデカルト座標成分 $E_{X}, E_{Y}, E_{Z}$ と円柱座標成分の関係を求める必要がある。
円柱座標成分とデカルト座標成分
  デカルト座標の基底ベクトル(単位ベクトル)を $\{ \mathbf{e}_{X}, \mathbf{e}_{Y}, \mathbf{e}_{Z} \}$ とすると、 ベクトル場 $\mathbf{E}$ は、
と表される。
  一方で 円柱座標の基底ベクトル(単位ベクトル)を $\{ \mathbf{e}_{r}, \mathbf{e}_{\theta}, \mathbf{e}_{z} \}$ とし、 $\mathbf{E}$ の円柱座標成分を $E_{r}, E_{\theta}, E_{z}$ と表すことにすると、 $\mathbf{E}$ は、
と表される。
  前者は $\mathbf{E}$ のデカルト座標系による表現であり、 後者は 円柱座標系による表現である。 これらの対応関係は、 互いの基底ベクトルの間にある関係
から求められる (この関係の証明は「円柱座標系の基底ベクトル」を参考)。  実際、 この関係式を $\mathbf{E}$ の円柱座標による表現に代入すると、
と表されるが、 デカルト座標系の基底ベクトルが正規直交基底を成すこと
を用いると、 $(4)$ から
が求まり、 $(5)$ から
が求まるので、 これらより、
をうる。
  これが円柱座標成分とデカルト座標成分の対応関係である。
回転の計算
$(6)$ を $(3)$ に代入すると、
となる。 この式に含まれる偏微分は $(2)$ から
と求められるので (これらの計算方法に関してはページ下部の補足を参考)、 これらを代入すると、
となる。 偏微分を実行して、 整理すると、
となる。 ここに、 円柱座標系の基底ベクトルとデカルト座標系の基底ベクトルの関係
を代入し、 整理すると、
を得る。
補足
  上の議論で使った偏微分の計算を行う。 $(2)$ より、
であるので、
であることが分かる。
  また、 $(2)$ より、
が示されるので、 逆三角関数の微分が
であることを用いると、
が示される。
  $z$ の微分については $(2)$ より、
であるので、
である。