円柱座標 で表したラプラシアンの導出  

最終更新 2018年 4月17日
  円柱座標で表したラプラシアンは、
円柱座標系のラプラシアン
である。

  証明

  ラプラシアンの定義は、
である。
  ここで $(X,Y,Z)$ はデカルト座標である。 この定義を出発点とし、 ラプラシアンの円柱座標系による表現を求める。
  $f$ を円柱座標 $(r, \theta, z)$ の関数とする。 すなわち、
とする。 デカルト座標と円柱座標の間には、
の関係があり、これより 、
が成り立つ。 このように円柱座標はデカルト座標の関数であるので、 円柱座標の関数 $f$ は、 その円柱座標がデカルト座標の関数であるという合成関数である。 すなわち、
と表される合成関数である。
  したがって、 合成関数の微分の連鎖率(チェーンルール)を用いると、 $f$ のデカルト座標による偏微分は、
と表される。
  同様に、 ここで表された3つの微分もまた円柱座標の関数であり、 その円柱座標がデカルト座標の関数であるという合成関数である。 すなわち、
と表される合成関数である。 したがって、 再び合成関数の微分の連鎖率(チェーンルール)を用いると、 二階の偏微分が
と表される。
  これらより、ラプラシアン $(1)$ は、
と表される。
  この式に含まれる円柱座標のデカルト座標による偏微分は、 $(2)$ から
と求められる (導出方法に関してはページ下部の補足を参考)。   これらを代入すると、
となるが、 偏微分を実行し、 式を整理することによって、
円柱座標系のラプラシアン
が得られる。
補足
  上の議論で使った偏微分の計算を行う。 $(2)$ より、
であるので、
であることが分かる。
  また、 $(2)$ より、
であるこ が示されるので、 逆三角関数の微分が
とを用いると、
が示される。
  $z$ の微分については $(2)$ より、
であるので、
である。