「"行列式"=0」⇔「列ベクトルが線形独立」

最終更新 2018年 1月8日
  $A$ の行列式が $0$ であることと、$A$ の列ベクトルが互いに線形独立であることは、 同値である。 すなわち、
列ベクトルが線形独立であることと行列式がゼロであることは同値
が成り立つ。

証明

  行列 $A$ の行列式が $0$ であることと、 同次連立一次方程式 $A \mathbf{x} = 0$ が自明な解のみを持つことは同値である。 すなわち、
が成り立つ (証明は上のリンクを参考)。
  また、 同次連立一次方程式の解が自明な解のみであることと、 方程式の係数行列の列ベクトルが線形独立であることは同値である。 すなわち、
が成り立つ (証明は上のリンクを参考)。
  以上 $(1)$ と $ (2)$ より、 行列 $A$ の行列式が $0$ であることと、 $A$ の列ベクトルが互いに線形独立であることは同値である。すなわち、
が成り立つ。