理数アラカルト
「"行列式"≠0」⇔「列ベクトルが線形独立」
$A$ の行列式が $0$ ではないことと、$A$ の列ベクトルが互いに線形独立であることは、 同値である。 すなわち、
が成り立つ。
証明
行列 $A$ の
行列式が $0$ ではないことと、 同次連立一次方程式 $A \mathbf{x} = 0$ が自明な解のみを持つことは同値
である。 すなわち、
が成り立つ (証明は上のリンクを参考)。
また、
同次連立一次方程式の解が自明な解のみであることと、 方程式の係数行列の列ベクトルが線形独立であることは同値
である。 すなわち、
が成り立つ (証明は上のリンクを参考)。
以上 $(1)$ と $ (2)$ より、 行列 $A$ の行列式が $0$ ではないことと、 $A$ の列ベクトルが互いに線形独立であることは同値である。すなわち、
が成り立つ。