等速円運動とは? ~速度・加速度など~
等速円運動とは?
$XY$ 平面上を運動する物体の位置を
と表すことにする。このとき、
時刻 $t$ のときの物体の位置が
$$
\tag{1}
$$
と表される運動を
等速円運動という。
ここで $r$ は円の半径であり、
$\omega$ は角速度である
(角速度については
こちらを参考)。
より一般的には、等速円運動は
と表される。
$\theta$ は $t=0$ での $x$ 軸との成す角であり、
初期位相と呼ばれる。
したがって、
上式は 点 $(x_{0}, y_{0})$ を中心とし、
初期位相が $\theta$ の円運動である。
議論を簡潔にするため、
これ以降は原点を中心として初期位相が $0$ の場合 ($(1)$の場合) のみを考察対象とする。
速度
$XY$ 平面上を運動する物体の速度を
と表すことにすると、
速度は位置の時間微分であるので、
等速円運動の場合、
$$
\tag{2}
$$
である。
これより、
物体の速さ
(速度の大きさ) $v$
は
である。
ここから等速円運動をする物体の速さが一定であることが分かる。
また、位置と速度の
標準内積が
であることから分かるように、
等速円運動では位置と速度がいつでも
直交する。
角速度と周期
角運動量と周期
等速円運動の位置が
と表されることから分かるように、
角速度 $\omega$ は単位時間当たりの角度の変化量である。
したがって、円が一周する間にかかる時間
$T$ とすると、
が成り立つので、
である。$T$ を
周期と呼ぶ。
角速度ベクトル
角速度 $\omega$ を三次元ベクトルで表し、
各種関係の記述に用いることがある。
$XY$ 平面上の原点を中心とする
等速円運動を
三次元空間 $XYZ$ 上のベクトルによって、
と表すことする。同じように速度を
と表すことにする。
ここで、
角速度ベクトル $ \vec{\omega} $ を
角速度 $\omega$ を用いて、
と定義する。
$(2)$ より、
が成り立つ。
ここで "$\times$" は
外積を表す記号である。
加速度
物体の加速度を
と表すことにする。
加速度は
速度の時間微分であるので、
$(2)$ より、
$$
\tag{3}
$$
である。
物体の加速度の大きさ $a$ は
であり、時間に依存しない。
また、
$(1)$ と $(3)$ から
が成り立つ。
これは、
物体の加速度が位置と反対向きを向くことを表している。
したがって、
等速円運動する物体は円の中心方向を向いた加速度を持つ(上図)。
速度を三次元で表したときと同じように、
加速度を
と表すと、
が成り立つ。
運動方程式
等速円運動では
加速度が法線方向を向き、
大きさが時間に依らない。
したがって、
ニュートンの第二法則より、
等速円運動を成す力 $\mathbf{F}$ は、
$(3)$ より、
と表される。ここで $m$ は物体の質量である。