等速円運動の加速度

最終更新 2017年 10月9日
  半径 $r$ の円上を円運動をする物体の加速度は、 円の中心方向を向き、 大きさ $a$ は、
円運動の加速度の大きさ
である。 ここで $v$ は物体の速さである。

  解説

  $XY$ 平面上を運動する物体の位置を
物体の位置
と表すことにすると、 原点を中心に等速円運動する物体の位置は、
円運動する物体の位置
と表される。 ここで $t$ は時間、 $\omega$ は角速度であり、 $\omega > 0$ の定数であるとする。
  続いて物体の速度を
と表すことにすると、 速度は位置の時間微分であるので、
円運動する物体の速度
である。 これより、 物体の速さ $v$ は
円運動する物体の速さ
である。 ここから $(1)$ の位置を持つ物体の速さが一定であることが分かる。
  続いて物体の加速度を
と表すことにすると、 加速度は速度の時間微分であるので、
円運動する物体の加速度
である。 これと $(2)$ から、 物体の加速度の大きさ $a$ は
である。
  最後に $(1)$ と $(3)$ から
が成り立つことが分かる。 これは、 物体の加速度が位置と反対向きを向く方向であることを表している。 よって、 等速円運動する物体は、 円の中心方向を向いた加速度を持つ(上図)。