変数が+1だけ異なるベータ関数と、もとのベータ関数との関係

  ベータ関数 $B(s,t)$ は、次の性質を満たす。

変数が+1だけ異なるベータ関数ともとのベータ関数との関係00

最終更新 2015年 12月 12日


  (*) の証明  

  ベータ関数の定義は、

変数が+1だけ異なるベータ関数ともとのベータ関数との関係01
であるので、

変数が+1だけ異なるベータ関数ともとのベータ関数との関係02
である。
  右辺を部分積分すると、これは、

変数が+1だけ異なるベータ関数ともとのベータ関数との関係03

と表せる。第一項は $0$ であるので、

変数が+1だけ異なるベータ関数ともとのベータ関数との関係04
である。
  ベータ関数の定義 $(1)$ より、

変数が+1だけ異なるベータ関数ともとのベータ関数との関係05
であるので、$(*)$ 式

変数が+1だけ異なるベータ関数ともとのベータ関数との関係06
が成立する。

  (*2) の証明  

  $(*)$ により、

変数が+1だけ異なるベータ関数ともとのベータ関数との関係07
が成立する。
  $ B(s, t+1)$ は、ベータ関数の定義によって、

変数が+1だけ異なるベータ関数ともとのベータ関数との関係08

であるが、この中の $(1-x)^{t}$ を

変数が+1だけ異なるベータ関数ともとのベータ関数との関係09

と表せることを利用すると、

変数が+1だけ異なるベータ関数ともとのベータ関数との関係10

と表せる。(最後の行では、再びベータ関数の定義を用いた。)
  $(2)$ と $(3)$ によって、

変数が+1だけ異なるベータ関数ともとのベータ関数との関係11

が成立する。この式を $B(s+1,t)$ について解くと、

変数が+1だけ異なるベータ関数ともとのベータ関数との関係12
を得る。





この関係を使って、t分布の分散を求める




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