ディリクレ核 ～ 定義と性質 ～
| 目次 | |
|---|---|
| - | 定義 |
| - | コサインの和 |
| - | 指数関数の和 |
| - | 周期が $2 \pi$ |
| - | 偶関数 |
| - | 連続性 |
| - | フーリエ級数との関係 |
| - | ディリクレ核の積分 |
ディリクレ核の定義
次の関数
$n=10$ の場合のディリクレ核
コサインの和による表現
ディリクレ核は
証明
三角関数の加法定理より、
であるので、
である。
これより、
である。
$m=1$ から $m=n$ までを順番に並べると、
となることから分かるように、
全てを足し合わせると、殆どの項がキャンセルし、
となる。
したがって、
ディリクレ核の定義から、
が成り立つ。
三角関数の加法定理より、
指数関数による表現
ディリクレ核
.
周期が $2 \pi$
ディリクレ核の周期は $2 \pi$ である。
偶関数
ディリクレ核は偶関数である。
連続性
$x \neq 2n\pi$
($n$ 整数)
のとき、ディリクレ核
証明
はじめに $x = 2n \pi$ での連続性を示す。
は、右辺の分子も分母も
$x \rightarrow 2n \pi$
の極限が $0$ であるので、
$\frac{0}{0}$ のロピタルの定理を適用できる。
よって、
となる。
最後の等号では商の極限の性質を用いた。
分子の極限は
であり、分母の極限は、
である。
以上から
が成り立つので、$\overline{D}_{n}(x)$ は
$x = 2n \pi$
で連続な関数である。
$x \neq 2n \pi$ の場合には、 コサインの和の表現
から明らかに連続である。
以上より、
$\overline{D}_{n}(x)$ は実数全体に渡って連続関数である。
はじめに $x = 2n \pi$ での連続性を示す。
$x \neq 2n \pi$ の場合には、 コサインの和の表現
フーリエ級数との関係
積分可能な関数 $f$ によって、フーリエ係数
補足
数列 $S_{n}$ の $n \rightarrow \infty$ の極限
をフーリエ級数という。
フーリエ級数が関数 $f(x)$ に等しいとき、 すなわち、 数列 $S_{n}$ の収束先が $f(x)$ になるとき、
と表し、右辺を $f(x)$ のフーリエ展開と呼ぶ。
数列 $S_{n}$ の $n \rightarrow \infty$ の極限
フーリエ級数が関数 $f(x)$ に等しいとき、 すなわち、 数列 $S_{n}$ の収束先が $f(x)$ になるとき、
ディリクレ核の積分
ディリクレ核の積分は、
